4.1 Треугольники
Задачи на свойства треугольников: сумма углов, внешний угол, равнобедренный и прямоугольный треугольник, биссектрисы, высоты, средняя линия.
Задача 1
В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(118^\circ\), \(AC = BC\). Найдите угол \(A\). Ответ дайте в градусах.
Анализ условия: Треугольник равнобедренный (\(AC = BC\)), значит углы при основании равны: \(\angle A = \angle B\).
Дано:
\(\angle C = 118^\circ\)
\(AC = BC\)
Решение:
\(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\)
\(2\angle A + 118^\circ = 180^\circ\)
\(\angle A = 31^\circ\)
Ответ: \(31\)
Задача 2
В треугольнике \(ABC\) \(AB = BC\). Внешний угол при вершине \(B\) равен \(138^\circ\). Найдите угол \(C\). Ответ дайте в градусах.
Анализ условия: Треугольник равнобедренный (\(AB = BC\)), значит \(\angle A = \angle C\). Внешний угол при \(B\) равен сумме двух внутренних, не смежных с ним: \(\angle A + \angle C\).
Дано:
\(AB = BC\)
\(\angle_{\text{внеш}, B} = 138^\circ\)
Решение:
\(\angle A + \angle C = 138^\circ\)
\(2\angle C = 138^\circ\)
\(\angle C = 69^\circ\)
Ответ: \(69\)
Задача 3
В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) равен \(40^\circ\), внешний угол при вершине \(B\) равен \(102^\circ\). Найдите угол \(C\). Ответ дайте в градусах.
Анализ условия: Внешний угол при \(B\) равен \(\angle A + \angle C\). Угол \(A\) известен — найдём \(\angle C\).
Дано:
\(\angle A = 40^\circ\)
\(\angle_{\text{внеш}, B} = 102^\circ\)
Решение:
\(40^\circ + \angle C = 102^\circ\)
\(\angle C = 62^\circ\)
Ответ: \(62\)
Задача 4
В треугольнике \(ABC\) \(AD\) — биссектриса, угол \(C\) равен \(50^\circ\), угол \(CAD\) равен \(28^\circ\). Найдите угол \(B\). Ответ дайте в градусах.
Анализ условия: Биссектриса делит угол \(A\) пополам: \(\angle A = 2 \cdot \angle CAD = 56^\circ\). Теперь известны два угла — найдём третий.
Дано:
\(\angle C = 50^\circ\)
\(\angle CAD = 28^\circ\)
\(AD\) — биссектриса
Решение:
\(\angle A = 56^\circ\)
\(\angle B = 180^\circ - 56^\circ - 50^\circ = 74^\circ\)
Ответ: \(74\)
Задача 5
В треугольнике \(ABC\) \(AC = BC\), \(AD\) — высота, угол \(BAD\) равен \(24^\circ\). Найдите угол \(C\). Ответ дайте в градусах.
Анализ условия: Треугольник равнобедренный, \(AD\) — высота не к основанию, значит не медиана и биссектриса.
1. В \(\triangle ADB\) мы знаем два угла, значит найдём третий \(\angle B\);
2. В \(\triangle ABC\) \(\angle B = \angle A\) — углы при основании равнобедренного треугольника. Знаем два угла — найдём третий.
Дано:
\(AC = BC\)
\(AD \perp BC\)
\(\angle BAD = 24^\circ\)
Решение:
B \(\triangle A D B:\)
\(\angle D =90^{\circ} ; \angle A=24^{\circ} \Rightarrow \)
\(\angle B =180^{\circ}-\left(24+90^{\circ}\right)=90^{\circ}-24^{\circ}=66^{\circ}\)
B \(\triangle A B C:\)
\(\angle A = \angle B = 66^\circ\)
\(\angle C = 180^\circ - 2 \cdot 66^\circ = 48^\circ\)
Ответ: \(84\)
Задача 6
Углы треугольника относятся как \(2 : 3 : 4\). Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.
Анализ условия: Пусть углы равны \(2x\), \(3x\), \(4x\). Их сумма — \(180^\circ\).
Дано:
\(\angle A : \angle B : \angle C = 2:3:4\)
Решение:
\(2x + 3x + 4x = 180^\circ\)
\(9x = 180^\circ \Rightarrow x = 20^\circ\)
Меньший угол: \(2x = 40^\circ\)
Ответ: \(40\)
Задача 7
Один угол равнобедренного треугольника на \(90^\circ\) больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
Анализ условия: Если больший угол при основании — их два, и сумма превысит \(180^\circ\). Значит, больший угол — при вершине.
Дано:
Равнобедренный треугольник
Один угол на \(90^\circ\) больше другого
Решение:
Пусть углы при основании = \(x\),
тогда угол при вершине = \(x + 90^\circ\).
\(2x + x + 90^\circ = 180^\circ \Rightarrow x = 30^\circ\)
Ответ: \(30\)
Задача 8
Острый угол прямоугольного треугольника равен \(32^\circ\). Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.
Анализ условия: Биссектриса прямого угла делит его на \(45^\circ\), биссектриса угла \(32^\circ\) — на \(16^\circ\). В малом треугольнике третий угол = \(119^\circ\), значит острый угол между биссектрисами = \(61^\circ\).
Дано:
\(\angle A = 90^\circ\), \(\angle B = 32^\circ\)
Биссектрисы \(\angle A\) и \(\angle B\)
Решение:
\(180^\circ - 45^\circ - 16^\circ = 119^\circ\)
Острый угол: \(180^\circ - 119^\circ = 61^\circ\)
Ответ: \(61\)
Задача 9
Найдите тупой угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Анализ условия: Острые углы в сумме дают \(90^\circ\). Их биссектрисы делят их пополам → сумма половин = \(45^\circ\). Тупой угол = \(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\).
Дано:
Прямоугольный треугольник
Биссектрисы острых углов
Решение:
\(\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = 45^\circ\)
Тупой угол = \(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\)
Ответ: \(135\)
Задача 10
Два угла треугольника равны \(58^\circ\) и \(72^\circ\). Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
Анализ условия: Третий угол = \(50^\circ\). Высоты перпендикулярны сторонам → в четырёхугольнике два угла = \(90^\circ\). Искомый угол = \(360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 130^\circ\).
Дано:
\(\angle A = 58^\circ\), \(\angle B = 72^\circ\)
Высоты из \(A\) и \(B\)
Решение:
\(\angle C = 50^\circ\)
Искомый угол = \(360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 130^\circ\)
Ответ: \(130\)