Основные свойства и определения, необходимые для решения задач.
Внешний угол треугольника
Свойство: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:
\[
\angle_{\text{внеш}} = \angle A + \angle C
\]
Важно: внешний угол всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Медиана, биссектриса, высота
Медиана
Соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
Биссектриса
Делит угол пополам.
Высота
Перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.
Запомните: в равнобедренном треугольнике эти три линии совпадают, если проведены к основанию.
Равнобедренный треугольник
Определение: треугольник, у которого две стороны равны.
Углы при основании равны: \(\angle A = \angle B\)
Высота к основанию — это также медиана и биссектриса.
Практический совет: если в задаче дано, что треугольник равнобедренный — сразу отметьте равные углы и используйте свойство высоты/медианы/биссектрисы.
Прямоугольный треугольник
Определение: треугольник, у которого один угол равен \(90^\circ\).
Сумма острых углов: \(\alpha + \beta = 90^\circ\)
Теорема Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\)
Медиана к гипотенузе: равна половине гипотенузы: \(m_c = \frac{c}{2}\)
Площадь: \(S = \frac{1}{2} ab\)
Важно: в прямоугольном треугольнике гипотенуза — самая длинная сторона.
Средняя линия треугольника
Определение: отрезок, соединяющий середины двух сторон.
Параллельна третьей стороне: \(MN \parallel AC\)
Равна её половине: \(MN = \frac{1}{2} AC\)
Отсекает подобный треугольник: коэффициент подобия \(k = \frac{1}{2}\)
Полезно знать: площадь малого треугольника составляет \(\frac{1}{4}\) площади исходного.
Площадь треугольника
Через основание и высоту: \(S = \frac{1}{2} a h\)
Через две стороны и угол: \(S = \frac{1}{2} ab \sin \alpha\)
Через полупериметр и радиус вписанной окружности: \(S = p \cdot r\)
Полезные значения синуса:
\(\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
\(\sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
